A chaque pliage, la feuille double d'épaisseur. Au second pliage, elle est déjà 4 fois plus épaisse, au troisième elle est huit fois plus épaisse, etc. Or il n'est pas possible de le plier une feuille plus épaisse que large. Bien sûr, au premier abord, il paraît aberrant d'obtenir une telle feuille en ne pliant qu'une dizaine de fois une feuille de moins d'un dixième de millimètre d'épaisseur. Ce n'est pas un problème de compaction car même en compressant parfaitement les feuillets entre eux, ils forment un bloc de plusieurs décimètres ! Il faut toujours se méfier des puissances de deux. Pour le comprendre, souvenez-vous de la célèbre légende liée au jeu d'échec :

bogart Echiquier astronomique. Il était une fois en Inde un roi qui souhaitait récompenser un de ses sujets en lui offrant ce qu'il désirerait. Le sujet semble avoir une demande bien modeste : il veut qu'on place un grain de blé sur la première case d'un échiquier, 2 sur la seconde, 4 sur la suivante, 8 sur la suivante, etc. Ainsi de suite en multipliant par deux le nombre de grains à chaque case (c'est ce que les mathématiciens appellent une progression géométrique). Comme il n'y a que 64 cases sur un échiquier, le roi accepte volontiers et donne l'ordre de préparer le sac de blé. Le ministre des finances revient quelque temps plus tard affolé : il est impossible de payer le sujet ! En effet, le nombre de grain de blé est tout simplement astronomique :

264-1 = 18 446 744 073 709 551 615

Difficile de se rendre compte de ce que ça représente, n'est-ce pas ? En fait, cette quantité dépasse largement la production actuelle de blé de la terre entière. Même avec les moyens actuels, il faudrait plusieurs milliers d'années pour la rassembler. Une telle quantité de blé couvrirait la surface de la Terre sur une hauteur de 2,5 cm. Si on remplace les grains de blé par des pastilles d'un millimètre d'épaisseur et qu'on les empile les unes sur les autres, la hauteur de la pile serait 120 000 fois plus grande que la distance terre-soleil : il faudrait deux ans pour la parcourir à la vitesse de la lumière !

Quelle est la morale de cette histoire ? Il faut toujours se méfier des progressions géométriques : même en partant de petits nombres, les puissances de deux engendrent rapidement de véritables monstres !

Papier à cigarette. Et si au lieu de parler d'échiquier, on tentait de plier 64 fois une feuille au grammage très fin, disons du papier à cigarette (20 µm d'épaisseur). On aboutirait à un bloc de papier de presque 400 milliards de kilomètres de haut. Bien sur, on ne cherche pas à plier une feuille en 64. Mais même dans des proportions plus modestes, une feuille de papier à cigarette pliée en 12 fait plus de 8 cm d'épaisseur ! Et comme nous allons le voir, vous aurez besoin d'une feuille initiale gigantesque.

Papier d'imprimante. A chaque pliage, votre bloc de papier est deux fois plus épais mais aussi deux fois moins large. Considérons une feuille de papier d'imprimante de 29,7 cm de large et de 0,1 mm d'épaisseur. Comme vous vous en êtes rendu compte si vous avez tenté les pliages successifs, très rapidement on arrive à un bloc de papier plus haut que large et qui n'est donc plus pliable. Si vous êtes très soigneux, vous pouvez au mieux faire 6 pliages. Si votre feuille initiale fait 1 m de côté, vous atteindrez peut-être les 7 pliages. Avec une feuille de 10 m, vous pouvez espérer au mieux 9 pliages. Et 10 pliages avec une feuille de 100 m. Pour 12 pliages, il vous faut une feuille de presque 2 km et à la fin vous devriez obtenir un bloc de 49 cm de long pour 41 cm d'épaisseur !

Et encore, cette estimation est trop optimiste : pour introduire le raisonnement, j'ai pris pour hypothèse simplificatrice qu'à chaque pliage, la longueur de la feuille est divisée par deux. En réalité, elle raccourcit d'un peu plus que la moitié en raison du rayon de courbure que l'on ne peut plus négliger à mesure que la feuille prend de l'épaisseur. (Il existe des formules donnant le raccourcissement exacte de la feuille ou le nombre maximal de pliages que l'on peut obtenir avec une feuille de dimension et d'épaisseur données. Pour ceux que ça intéresse, ce site ou celui-ci en parlent en détail)

origami Toujours est-il qu'il est bien possible de plier une feuille en 12 si elle fait près de 2 km de côté. Et cela a d'ailleurs été prouvé par une lycéenne californienne, Britney Gallivan, qui a eu l'idée folle de réaliser le pliage. Bien sur une feuille de 2 km de coté ça n'existe pas. Mais elle a trouvé une solution astucieuse. Comme le pliage se fait toujours dans le même sens, il suffit de plier un ruban de papier plutôt qu'une immense feuille carrée. Elle est donc partie acheter un rouleau de papier toilette géant (le genre de rouleau pour les toilettes de collectivité). Elle l'a déroulé entièrement et a ensuite commencé le pliage. Imaginez le travail que ça a du être ! Après 7 heures d'effort, elle est parvenue à un 11eme pliage (photo ci-contre). Il lui restait à plier le bloc en deux pour obtenir les 12 pliages requis.

Donc, contrairement à ce qu'on peut lire ça et là, le pliage en douze était bel et bien faisable mais il fallait être sacrément déterminée pour y arriver en raison des dimensions colossales de la feuille nécessaire. En tout cas, maintenant, l'affaire est pliée !